Question

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-(1+k²)x²(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)求炮的最大射程;
(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)10千米   (2)當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí),可擊中目標(biāo)

解:(1)令y=0,得kx-(1+k²)x²=0,由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0,k>0,
故x==≤=10,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).
所以炮的最大射程為10千米.
(2)因?yàn)閍>0,所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0,使3.2=ka-(1+k²)a²成立?關(guān)于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根?判別式Δ=(-20a)²-4a²(a²+64)≥0?a≤6.
所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí),可擊中目標(biāo).