Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）設平面BCE∩平面ACD=l，試問直線l是否和平面ABED平行，說明理由．

Answer 1

分析：（I）取CE中點P，連接FP，BP，根據(jù)三角形中位線性質，我們易得四邊形ABPF為平行四邊形，則AF∥BP，再由線面平行的判定定理可得AM∥平面BCE；
（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理證明AF⊥平面DCE，再利用面面垂直的判定定理證明平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）假設直線l和平面ABED平行，利用線面平行的性質，可得AD∥EB，與AD，EB相交矛盾，故可得結論．

解答：（I）證明：取CE中點P，連接FP，BP
∵F是CD的中點，
∴FP∥DE且FP=

1

2

DE
∵AB∥DE，AB=

1

2

DE
∴AB∥FP，AB=FP
∴四邊形ABPF為平行四邊形
∴AF∥BP  
∵AF?平面BCE，BP?平面BCE
∴AM∥平面BCE；
（Ⅱ）證明：∵△ACD是正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，
∵AF?平面ACD，
∴DE⊥AF
∵CD∩DE=D
∴AF⊥平面DCE
∵BP∥AF，
∴BP⊥平面DCE
∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）解：假設直線l和平面ABED平行
∵l?平面BCE，平面BCE∩平面ABED=EB
∴l(xiāng)∥EB
同理l∥AD
∴AD∥EB，與AD，EB相交矛盾
∴直線l和平面ABED不平行．

點評：本題考查線面平行的判定與性質，考查線面垂直、面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．