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設數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，前n項和為S_n，已知 $數(shù)學公式$ ．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求其通項公式；
（2）證明：對任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有 $數(shù)學公式$ ；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴當n≥2時， $\text{[math]}$ ．
兩式相減得 $\text{[math]}$ ，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又 $\text{[math]}$ ，∴a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1為首項，d=2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（3）結論成立，證明如下：
設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則 $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
將m+p=2k代入得， $\text{[math]}$ ，
∴S_m+S_p≥2S_k，
又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由所給等式得，當n≥2時， $\text{[math]}$ ，然后兩式作差得a_n-a_n-1=2，由此可判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用通項公式即可求得；
（2）利用等差數(shù)列求和公式表示出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，再用基本不等式證明該式大于等于0即可；
（3）先用作差法證明S_m+S_p≥2S_k，再用基本不等式證明 $\text{[math]}$ ，由此即可證明結論；
點評：本題考查等差數(shù)列的求和公式、通項公式，基本不等式的應用，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．

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設數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，且對任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
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（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
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設數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，S_n是其前n項和，且對任意n∈N^*都有a_n²=2S_n-a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
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（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
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x2+

的圖象上，數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=

an+1

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（1）求a_n；
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（2013•江蘇一模）設數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項的和為S_n，對于任意正整數(shù)m，n，Sm+n=

2a2m(1+S2n)

-1恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求證：數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列．

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