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        1. (2013•鷹潭一模)已知點(diǎn)P是橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)上的點(diǎn),橢圓短軸長為2,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),|OP|=
          10
          2
          ,
          PF1
          PF2
          =
          1
          2
          (點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
          (Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率;
          (Ⅱ)直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn),若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使
          OM
          +
          ON
          OA
          ,λ∈(0,2)求△OMN面積的最大值.
          分析:(Ⅰ)利用橢圓短軸長為2,求b.利用,|OP|=
          10
          2
          PF1
          PF2
          =
          1
          2
          ,可求c,進(jìn)而求出橢圓方程和離心率.
          (Ⅱ)將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,進(jìn)行消元,轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,然后利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)由|OP|=
          10
          2
          ,得x02+y02=
          5
          2
          ,…(1分)
          PF1
          PF2
          =
          1
          2
          (-c-x0,-y0)?(c-x0,-y0)=
          1
          2
          ,即x02+y02-c2=
          1
          2
          …(2分)
          所以c=
          2
          ,又因?yàn)槎梯S長為2,所以b=1,所以離心率e=
          c
          a
          =
          6
          3
          ,…(4分)
          橢圓C的方程為:
          x2
          3
          +y2=1
          ;…(6分)
          (Ⅱ)解法一:由
          y=x
          x2
          3
          +y2=1
          A(
          3
          2
          ,
          3
          2
          )
          ,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,
          聯(lián)立方程組
          y=kx+m
          x2
          3
          +y2=1
          消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0…(7分)
          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
          6km
          1+3k2
          x1x2=
          3m2-3
          1+3k2
          …(8分)
          所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=
          2m
          1+3k2


          因?yàn)?span id="4jswrry" class="MathJye">
          OM
          +
          ON
          OA
          ,λ∈(0,2),所以x1+x2=
          3
          2
          λ
          ,y1+y2=
          3
          2
          λ

          kMN=-
          1
          3
          ,m=
          3
          3
          λ
          ,于是x1+x2=
          3m
          2
          ,x1x2=
          9m2-9
          4
          …(9分)
          所以|MN|=
          1+(-
          1
          3
          )
          2
          |x1-x2|=
          10
          3
          (x1+x2)2-4x1x2
          =
          10
          ?
          4-3m2
          2
          …(10分)
          又因?yàn)棣耍?,原點(diǎn)O到直線MN的距離為d=
          3
          10
          m
          10
             所以S△OMN=
          1
          2
          |MN|d=
          10
          ?
          4-3m2
          4
          ?
          3
          10
          m
          10
          S△OMN=
          1
          2
          |MN|d=
          10
          ?
          4-3m2
          4
          ?
          3
          10
          m
          10
          =
          3
          ?
          (4-3m2)3m2
          4
          3
          2
          ,
          當(dāng)m=
          6
          3
          ,即λ=
          2
          時(shí)等號成立,S△OMN的最大值為
          3
          2
          …(13分)
          點(diǎn)評:本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì),以及直線與橢圓的位置關(guān)系.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鷹潭一模)設(shè)l、m、n表示三條直線,α、β、r表示三個(gè)平面,則下面命題中不成立的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鷹潭一模)A﹑B﹑C是直線l上的三點(diǎn),向量
          OA
          OB
          OC
          滿足:
          OA
          -[y+2f'(1)]•
          OB
          +ln(x+1)•
          OC
          =
          0
          ;
          (Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;          
          (Ⅱ)若x>0,證明f(x)>
          2x
          x+2
          ;
          (Ⅲ)當(dāng)
          1
          2
          x2≤f(x2)+m2-2bm-3
          時(shí),x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鷹潭一模)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至多三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鷹潭一模)復(fù)數(shù)z=
          2+i
          1-i
          -i(2-i)
          在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鷹潭一模)已知全集U=R,集合A={x|y=log(x2-x-6),x∈R},B={x|
          5
          x+1
          <1,x∈R}
          ,則集合A∩?RB=( 。

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          同步練習(xí)冊答案