Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD的中點(diǎn)，
(1)求證：直線B₁F∥平面D₁DE；
(2)求二面角C₁-BD₁-B₁的大小；
(3)若點(diǎn)P是棱AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四面體DPA₁C₁體積的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：取棱A1B1的中點(diǎn)E1，連結(jié)E1D， ∵B1E1∥DF且相等， ∴四邊形DFB1E1為平行四邊形，∴B1F∥DE1， 又∵B1F平面D1DE，易得DE1平面D1DE， ∴B1F∥平面D1DE。 （Ⅱ）解：取A1C1與B1D1的交點(diǎn)O1， 在平面BB1D1D上作O1H⊥BD1，重足為H，連結(jié)HC1， ∵C1O1⊥B1D1，平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1， ∴C1O1⊥平面BB1D1D， ∴C1H⊥BD1，即∠O1HC1是所求二面角的平面角， 又， ∴， ∴∠O1HC1=60°，所以二面角C1-BD1-B1的大小是60°。 （Ⅲ）解：延長BA到M，使AM=AB連結(jié)MD， 則∵AB∥DC且相等， ∴AM∥DC且相等，∴四邊形MACD是平行四邊形， ∴MD∥AC且相等， 又四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴AC∥A1C1且相等， ∴MD∥A1C1且相等， ∴MD與A1C1確定一個(gè)平面，即平面DA1C1， ∴M是直線BA與平面DA1C1的交點(diǎn)， ∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，P到平面DA1C1的距離最大，四面體DPA1C1體積最大， 此時(shí)四面體DPA1C1為正四面體， 棱長是，故四面體底面面積為，高為， 體積為。