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        1. 在平面直角坐標系xoy中,已知三點A(-1,0),B(1,0),C(-1,
          3
          2
          ),以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過點C.
          (I)求橢圓的方程;
          (II)設點D(0,1),是否存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點M、N,使(
          DM
          +
          DN
          )•
          MN
          =0
          ?若存在,求出直線l斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由;
          (III)若對于y軸上的點P(0,n)(n≠0),存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點M、N,使(
          PM
          +
          PN
          )•
          MN
          =0
          ,試求n的取值范圍.
          分析:(I)設橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,據(jù)A(-1,0),B(1,0),C(-1,
          3
          2
          )知,
          (-1)2
          a2
          +
          (
          3
          2
          )
          2
          b2
          =1
          a2-b2=1
          ,由此可求出橢圓方程.
          (II)(
          DM
          +
          DN
          )•
          MN
          =0
          ?|
          DM
          |=|
          DN
          |
          ,若存在符合條件的直線,該直線的斜率一定存在,否則與點D(0,1)不在x軸上矛盾.
          可設直線l:y=kx+m(k≠0),由
          y=kx+m
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,然后利用根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解.
          (III)由題設條件可推出
          y0-n
          x0
          =-
          1
          k
          ,即
          3m
          3+4k2
          -n
          -
          4km
          3+4k2
          =-
          1
          k
          ,由4k2+3>m2得4k2+3>n2(3+4k22,即4k2
          1
          n2
          -3
          ,要使k存在,只需
          1
          n2
          -3>0(n≠0)
          ,由此可推導出n的取值范圍.
          解答:解:(I)設橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,據(jù)A(-1,0),B(1,0),C(-1,
          3
          2
          )知,
          (-1)2
          a2
          +
          (
          3
          2
          )
          2
          b2
          =1
          a2-b2=1
          解得
          a2=4
          b2=3

          ∴所求橢圓方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          (4分)
          (II)∵條件(
          DM
          +
          DN
          )•
          MN
          =0
          等價于|
          DM
          |=|
          DN
          |

          ∴若存在符合條件的直線,該直線的斜率一定存在,否則與點D(0,1)不在x軸上矛盾.
          ∴可設直線l:y=kx+m(k≠0)
          y=kx+m
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1

          得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
          由△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0得4k2+3>m2.(6分)
          設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點為Q(x0,y0
          x0=
          x1+x2
          2
          =-
          4km
          3+4k2
          ,y0=kx0+m=
          3m
          3+4k2

          又∵|
          DM
          |=|
          DN
          |
          y0-1
          x0
          =-
          1
          k
          ,即
          3m
          3+4k2
          -1
          -
          4km
          3+4k2
          =-
          1
          k

          解得:m=-3-4k2.(8分)
          (將點的坐標代入(
          DM
          +
          DN
          )•
          MN
          =0
          亦可得到此結(jié)果)
          由4k2+3>m2得,4k2+3>(3+4k22得,4k2<-2,這是不可能的.
          故滿足條件的直線不存在.(10分)
          (III)據(jù)(II)有
          y0-n
          x0
          =-
          1
          k
          ,即
          3m
          3+4k2
          -n
          -
          4km
          3+4k2
          =-
          1
          k
          ,
          解得,m=-n(3+4k2),
          由4k2+3>m2得4k2+3>n2(3+4k22,即4k2
          1
          n2
          -3
          ,要使k存在,只需
          1
          n2
          -3>0(n≠0)

          ∴n的取值范圍是(-
          3
          3
          ,0)∪(0,
          3
          3
          )
          (14分)
          點評:本題綜合考查直線和橢圓的位置關系和橢圓性質(zhì)的運用,解題時要認真審題,仔細解答,恰當?shù)剡x取公式.
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          在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
          2
          的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          9
          =1(a>0)
          與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
          (1)求圓C的方程;
          (2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標.

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          3
          5
          ,點B的縱坐標是
          12
          13
          ,則sin(α+β)的值是
          16
          65
          16
          65

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
          x2
          m
          +
          y2
          3
          =1
          的離心率為
          1
          2
          ,則m的值為
          4
          4

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          3t
          ,0)
          ,其中t≠0.設直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
          1
          2

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
          (3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
          16
          7
          相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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