Question

若不等式4^x-a2^x+1+a²-1≥0在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（-∞，1]∪[5，+∞）

．

Answer 1

分析：設(shè)2^x=t，用換元法把4^x-a2^x+1+a²-1≥0化成t²-2at+a²-1≥0，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的恒成立問題，即可求出答案．

解答：解：設(shè)2^x=t，∵1≤x≤2，則2≤t≤4，
原式可化為：t²-2at+a²-1≥0，令f（t）=t²-2at+a²-1=（t-a）²-1，
①當(dāng)a≤2時(shí)，y在[2，4]上為增函數(shù)，
故當(dāng)t=2時(shí)，y取最小值f（2），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（2）≥0即可，
∴a≤1，
②當(dāng)a≥4時(shí)，y在[2，4]上為減函數(shù)，
故當(dāng)t=4時(shí)，y取最小值f（4），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（4）≥0即可，
∴a≥5，
③當(dāng)2＜a＜4時(shí)，y在[2，a]上為減函數(shù)，在[a，4]上為增函數(shù)
故當(dāng)t=a時(shí)，y取最小值f（a），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（a）≥0即可，
∴a∈∅，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]∪[5，+∞）
故答案為：（-∞，1]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度一般，關(guān)鍵是掌握換元法的應(yīng)用．