Question

已知數(shù)列的相鄰兩項，是關(guān)于方程的兩根，且.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的都成立，求實數(shù) 的取值范圍.

 

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得數(shù)列的遞推公式：，

設(shè)，易求得：，，

并注意到: ,可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.

（2）由（1）的結(jié)果得數(shù)列的通項公式,于是: ,的拆項法,將數(shù)列的前項和化為兩個等比數(shù)列的前和.

（3）由韋達定理：=

所以，采用分離變量法求將求實數(shù) 的取值范圍問題，轉(zhuǎn)變成求關(guān)于的函數(shù)的最值問題.

試題解析：（1）∵，∴，

∵，

∴，

∴是首項為，公比為的等比數(shù)列。

且 4分

（2）由（1）得=

8分（注：未分奇偶寫也得8分）

（3）∵，

∴,∴,

∴.

∴當為奇數(shù)時，，

∴對任意的為奇數(shù)都成立，∴。 11分

∴當為偶數(shù)時，，

∴，

∴對任意的為偶數(shù)都成立，∴ 13分

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為。 14分

考點：1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2、等比數(shù)列的前項和；3、等價轉(zhuǎn)化的思想.