Question

已知a₂₀₁₀與a₂₀₁₁是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}相鄰的兩項(xiàng)，且函數(shù)y=（x-a₂₀₁₀）（x-a₂₀₁₁）的圖象如圖所示，則使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n是（　�。�

A．4017

B．4018

C．4019

D．4020

Answer 1

分析：由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，推出 S₄₀₁₉＞0，S₄₀₂₁＜0，再根據(jù)圖象得a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，可得S₄₀₂₀＜0．從而可得答案．

解答：解：由題意可得：a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，
又S₄₀₁₉=

(a1+a4019)×4019

2

=

2a2010 ×4019

2

=4019×a₂₀₁₀＞0，
根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=

a2010+a2011

2

＜0得：a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，
∴S₄₀₂₀＜0．
綜上所述，使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n是4019．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，判斷a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，是解題的關(guān)鍵，屬于難題．