Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

（2）設(shè)， ， ，求函數(shù)的最小值；

（3）對(duì)（2）中的，若不等式對(duì)于任意的時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) ；(3) .

【解析】試題分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性得證明方法證明函數(shù)在上是增函數(shù)，利用單調(diào)性求其值域；（2）通過(guò)換元法，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值，利用對(duì)稱軸分類討論即可；（3）分離參數(shù)，求函數(shù)的最值，求最值時(shí)利用函數(shù)單調(diào)性.

試題解析：(1) 在任取且，則， ，

所以， ，即，

所以是上增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)， 取得最小值，當(dāng)時(shí)， 取得最大值，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

(2) ， ，

令， ，則.

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，故；

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，故；

③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；

綜上所述，

(3)由(2)知，當(dāng)時(shí)， ，所以，

即，整理得， .

因?yàn)?/span>，所以對(duì)于任意的時(shí)恒成立.

令， ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為.

在任取且，則， ，

所以， ，

①當(dāng)時(shí)， ，所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， ，所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

綜上， ，從而.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.