Question

【題目】函數(shù)對(duì)任意的滿足:,當(dāng)時(shí),

（1）求出函數(shù)在R上零點(diǎn)；

（2）求滿足不等式的實(shí)數(shù)的范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、函數(shù)的周期定義,結(jié)合已知可以判斷出該函數(shù)的奇偶性和周期,可以判斷出時(shí),的零點(diǎn)情況,最后利用函數(shù)的奇偶性和周期求出函數(shù)在R上零點(diǎn)；

(2)先判斷出當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的奇偶性,可以化簡(jiǎn)不等式,最后求出實(shí)數(shù)的范圍.

(1)因?yàn)?,所以函數(shù)是周期為2的奇函數(shù).

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn),根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)

,函數(shù)沒有零點(diǎn),而,令,有,而由奇函數(shù)的性質(zhì)可知：,所以有,因此當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),又因?yàn)楹瘮?shù)的周期是2,所以函數(shù)的零點(diǎn)為：,即；

(2)設(shè),因此.

,

因?yàn)?/span>,所以,因此,故函數(shù)在時(shí)是增函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以

因?yàn)?/span> ,所以,,因此當(dāng)時(shí),根據(jù)單調(diào)性可知：

.