Question

已知對(duì)于任意的自然數(shù)m，n，都有f（n）f（m）=f（n+m）+f（n-m），其中f（0）≠0，f（1）=1，試猜想f（n）=

 

．（n∈N）

Answer 1

分析：先設(shè)m=n=0得：f²（0）=2f（0），求得f（0）=2，再設(shè)m=n，得f（2n）=f（n）f（n）-2，結(jié)合題中條件依次求出f（2），f（3），f（4），f（5），f（6），…f（n）的值呈周期性變化，周期為：6，聯(lián)想到三角函數(shù)進(jìn)行猜想即可．

解答：解：設(shè)m=n=0得：
f²（0）=2f（0），其中f（0）≠0，
∴f（0）=2，
設(shè)m=n，得：f（n）f（n）=f（2n）+2，
∴f（2n）=f（n）f（n）-2
∴f（2）=f²（1）-2=-1
f（3）=-2
f（4）=f²（2）-2=-1
f（5）=1
f（6）=f²（3）-2=2，
…
f（n）的值呈周期性變化，周期為：6，
聯(lián)想到三角函數(shù)，故猜想f（n）=2cos

nπ

3

．
故答案為：2cos

nπ

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用、歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．