Question

已知定點(diǎn)與分別在軸、軸上的動點(diǎn)滿足：,動點(diǎn)滿足．
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）；（2）（i）相切；（ii）為定值，且定值為0.證明過程見解析.

試題分析：（1）假設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，由，，經(jīng)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，易得P的軌跡方程. （2）（i）A，B，兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)距離相等，又是方程的準(zhǔn)線，結(jié)合圖形，易得直線與圓相切. （ii）假設(shè)過F點(diǎn)的直線方程AB為 與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo).寫出OA，OB所在直線方程，求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可知=0
試題解析：
解：（1）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為,則     1分
又，由得   2分
即亦即         3分
代入即得：動點(diǎn)的軌跡的方程為：    4分
（2）由（1）知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)直線的方程為；點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
(i)設(shè)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為,則,
設(shè)的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，          5分
則     7分
直線與以為直徑的圓相切.                8分
（注：直接運(yùn)算得到正確結(jié)果同樣給分）
(ii)由得，          10分
的方程為，即由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，                     11分

于是          12分
因此為定值，且定值為0.                    13分