Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

7

，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）證明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AA₁⊥平面ABC，?DE⊥AA₁．再由DE⊥A₁E?DE⊥平面ACC₁A₁．即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)O是AC的中點．先建立一個以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)各點的坐標(biāo)．再利用線面角的求法在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)找到直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值即可．

解答：解：（1）證明：如圖所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AA₁⊥平面ABC．
又DE?平面ABC，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥A₁E．AA₁∩A₁E=A₁，
所以DE⊥平面ACC₁A₁．
又DE?平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．

（2）如圖所求，設(shè)O是AC的中點，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是
A（2，0，0），A₁（2，0，

7

），D（-1，

3

，0），E（-1，0，0）．
易知

A1D

=（-3，

3

，-

7

），

DE

=（0，-

3

，0），

AD

=（-3，

3

，0）．
設(shè)n=（x，y，z）是平面A₁DE的一個法向量，
解得x=-

7

3

z，y=0．
故可取n=（

7

，0，-3）．
于是cos＜?n，A＞?═

-3 7

4×2 3

=-

21

8

．
由此即知，直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值為

21

8

．

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直