Question

（2012•荊州模擬）請(qǐng)?jiān)谙旅鎯深}中選做一題，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
選修4-1：幾何證明選講
如圖，割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O，PB=OB=1，圓周上有一點(diǎn)D，滿(mǎn)足∠COD=60°，連PD交圓于點(diǎn)E，則PE=

3 7

7

．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），傾斜角的余弦值為-

4

5

，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|=

7

5

．

Answer 1

分析：（1）先在△POD中由余弦定理求出PD長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理建立關(guān)系式，即可算出PE的長(zhǎng)；
（2）將圓C化成普通方程得（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

，可得圓心是（

1

2

，-

1

2

）、半徑r=

2

2

．算出l的斜率并利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)得直線l方程為3x+4y+1=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)C到直線l的距離，再根據(jù)垂徑定理加以計(jì)算，即可得到直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵△POD中，OD=1，PO=2，∠POD=120°，
∴由余弦定理，得
PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos120°=1+4-2×1×2×（-

1

2

）=7，解得PD=

7

．
又∵根據(jù)割線定理，得PE•PD=PB•PC，
∴

7

PE=1×3，解之得PE=

3 7

7

．
（2）由ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，得ρ=

2

(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)，
即ρ=cosθ-sinθ，可得ρ²=ρcosθ-ρsinθ．
∴x²+y²=x-y，化簡(jiǎn)得（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

圓C是以（

1

2

，-

1

2

）為圓心，半徑r=

2

2

∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），傾斜角的余弦值為-

4

5

，
∴l(xiāng)的斜率k=-

3

4

，得l的方程為y+1=-

3

4

（x-1），化簡(jiǎn)得3x+4y+1=0
∵點(diǎn)C到直線l的距離為d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

32+42

=

1

10

，
∴由垂徑定理，得直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)|AB|=2

r2-d2

=

7

5

．
故答案為：

3 7

7

，

7

5

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了余弦定理、割線定理、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線的基本量與基本形式、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．