Question

已知動點M到點F（1，0）的距離，等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F任意作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點A，B和M，N．設(shè)線段AB，MN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△FPQ面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動點M的坐標為（x，y），由題意得

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點P的坐標為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．由題意可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．
（Ⅲ）題題設(shè)能求出|EF|=2，所以△FPQ面積S=

1

2

|FE|(

2

|k|

+2|k|)=2(

1

|k|

+|k|)≥4．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點M的坐標為（x，y），
由題意得，

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化簡得y²=4x，
所以點M的軌跡C的方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點P的坐標為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
由題意可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
因為直線l₁與曲線C于A，B兩點，
所以x₁+x₂=2+

4

k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
所以點P的坐標為(1+

2

k2

，

2

k

)．
由題知，直線l₂的斜率為-

1

k

，同理可得點的坐標為（1+2k²，-2k）．
當k≠±1時，有1+

2

k2

≠1+2k2，
此時直線PQ的斜率k_PQ=

2 k +2k

1+ 2 k2 -1-2k2

=

k

1-k2

．
所以，直線PQ的方程為y+2k=

k

1-k2

(x-1-2k2)，
整理得yk²+（x-3）k-y=0．
于是，直線PQ恒過定點E（3，0）；
當k=±1時，直線PQ的方程為x=3，也過點E（3，0）．
綜上所述，直線PQ恒過定點E（3，0）．（10分）
（Ⅲ）可求得|EF|=2，
所以△FPQ面積S=

1

2

|EF|(

2

|k|

+2|k|)=2(

1

|k|

+|k|)≥4．
當且僅當k=±1時，“=”成立，所以△FPQ面積的最小值為4．（13分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應用，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．