Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線(xiàn)l：x=my+c與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N且當(dāng)時(shí)，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，且△MF₁F₂的周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)AM，AN與直線(xiàn)：x=4分別相交于點(diǎn)P，Q，問(wèn)當(dāng)m變化時(shí)，以線(xiàn)段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為120°，又△MF₁F₂的周長(zhǎng)為6，即可求得橢圓方程；
（2）利用特殊位置猜想結(jié)論：當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為：x=1，求得以PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，被x軸截得的弦長(zhǎng)為6，猜測(cè)當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值6，再進(jìn)行證明即可．
解答：解：（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為120°，又△MF₁F₂的周長(zhǎng)為6
所以：…（3分）
解得：，…（5分）
所以橢圓方程是：；…（6分）
（2）當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為：x=1，此時(shí)，M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，又A點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，0），
由圖可以得到P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（4，3），（4，-3），以PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，被x軸截得的弦長(zhǎng)為6，猜測(cè)當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值6，…（8分）
證明如下：
設(shè)點(diǎn)M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則直線(xiàn)AM的方程是：，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是，同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，…（9分）
由方程組得到：3（my+1）²+4y²=12⇒（3m²+4）y²+6my-9=0，
所以：，…（11分）
從而：
==0，
所以：以PQ為直徑的圓一定過(guò)右焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值6．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用特殊位置，猜想結(jié)論，再進(jìn)行證明．