Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，1）且離心率．過(guò)定點(diǎn)C（-1，0）的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA•MB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題設(shè)條件和a，b和c的關(guān)系聯(lián)立方程求得a和b，進(jìn)而可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）．橢圓與直線方程聯(lián)立消元．根據(jù)韋達(dá)定理求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，根據(jù)題設(shè)中的向量的關(guān)系求得m，進(jìn)而得出M的坐標(biāo)；當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，則直線AB的方程為x=-1．進(jìn)而求得A和B的坐標(biāo)，求得m．最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為
由已知可得，
解得a²=4，b²=2．
所求橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）．
，
，

=
=
=
=
∵是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，
∴
∴，即．
此時(shí)，．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，則直線AB的方程為x=-1．
此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為
當(dāng)時(shí)，亦有
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的方程和直線與橢圓的關(guān)系．當(dāng)解決直線與橢圓的關(guān)系時(shí)，常需要聯(lián)立方程進(jìn)行消元．