Question

（2012•房山區(qū)一模）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB，a=2，c=

19

．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（A+B），將已知的等式變形后代入，即可求出tan（A+B）的值；
（II）由tan（A+B）的值，及A和B都為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A+B的度數(shù)，進(jìn)而得出C的度數(shù)，得到sinC和cosC的值，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，將a，c及cosC的值代入，求出b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（I）∵tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB=

3

（1-tanAtanB），
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3 (1-tanAtanB)

1-tanAtanB

=

3

；
（II）由（I）及A和B都為三角形的內(nèi)角，得到A+B=

π

3

，
∴C=

2π

3

，
∵c²=a²+b²-2abcosC，a=2，c=

19

，cosC=-

1

2

，
∴19=4+b²-2×2×b×（-

1

2

），即（b-3）（b+5）=0，
解得：b=3或b=-5（舍去），
∴b=3，又sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×3×

3

2

=

3 3

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．