Question

21、如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中點．
（1）求證：BD₁∥平面ACE；
（2）求證：平面ACE⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

分析：（1）設AC和BD交于點O，由三角形的中位線的性質可得EO∥BD₁，從而證明直線BD₁∥平面ACE．
（2）證明AC⊥BD，DD₁⊥AC，可證AC⊥面BDD₁B₁，進而證得平面ACE⊥平面BDD₁B₁ ．

解答：證明：（1）設AC和BD交于點O，連EO，
因為E，O分別是DD₁，BD的中點，
所以EO∥BD₁，
因為EO?平面PAC，BD?平面PAC，
所以直線BD₁∥平面ACE．
（2）由題意可得：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD，
所以底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
又因為DD₁⊥面ABCD，
所以DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，
∴AC⊥面BDD₁B₁．
∵AC?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BDD₁B₁ ．

點評：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，求直線和平面所稱的角的大小，找出直線和平面所成的角是解題的難點．