Question

若

且

（1）求對所有實數(shù)成立的充要條件（用表示）

（2）設(shè)為兩實數(shù)，且若

求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）

Answer 1

解:（Ⅰ）恒成立

（*）

因為

所以，故只需（*）恒成立

綜上所述，對所有實數(shù)成立的充要條件是：

（Ⅱ）1°如果，則的圖象關(guān)于直線對稱．因為，所以區(qū)間關(guān)于直線 對稱．

因為減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為

2°如果.

（1）當(dāng)時.，

當(dāng)，因為，所以，

故=

當(dāng)，因為，所以

故=

因為，所以，所以即

當(dāng)時，令，則，所以，

當(dāng)時，，所以=

時，，所以=

在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和

=

（2）當(dāng)時.，

當(dāng)，因為，所以，

故=

當(dāng)，因為，所以

故=

因為，所以，所以

當(dāng)時，令，則，所以，

當(dāng)時， ，所以=

時，，所以=

在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和

=

綜上得在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為