Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD=DC=mAB，BC⊥PC．
（1）當m=

1

2

時，求證：PA⊥BC；
（2）當m=

1

3

時，試在線段PB上找一點M，使CM∥平面PAD，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證PA⊥BC，可將PA放在面PAC內，證明BC⊥平面PAC即可，連接AC，過C作CE⊥AB，垂足為E，AC⊥BC，又因為BC⊥PC，AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，滿足線面垂直的判定定理；
（2）欲證CM∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證CM與平面PAD內一直線平行即可，當M為PB中點時取AP中點為F，連接CM，FM，DF，CM∥DF，DF?平面PAD，CM?平面PAD，滿足定理條件．

解答：證明：（1）連接AC，過C作CE⊥AB，垂足為E，
在四邊形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，
當m=

1

2

時，
AD=DC，所以四邊形ADCE是正方形．
所以∠ACD=∠ACE=45°
因為AE=CD=

1

2

AB，所以BE=AE=CE
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，又因為BC⊥PC，AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA?平面PAC，所以PA⊥BC．（7分）
解：（2）當m=

1

3

時，M點滿足PM=

1

3

PB，CM∥平面PAD，（8分）
證明：取AP的三等分點F，連接CM，FM，DF．則FM∥AB，FM=

1

3

AB，
因為CD∥AB，CD=

1

3

AB，所以FM∥CD，FM=CD．（10分）
所以四邊形CDFM為平行四邊形，所以CM∥DF，（11分）
因為DF?平面PAD，CM?平面PAD，所以，CM∥平面PAD．（13分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間中直線與直線之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．