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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,CD∥AB,AD⊥AB,AD=DC=mAB,BC⊥PC.
          (1)當m=
          1
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          時,求證:PA⊥BC;
          (2)當m=
          1
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          時,試在線段PB上找一點M,使CM∥平面PAD,并說明理由.
          分析:(1)欲證PA⊥BC,可將PA放在面PAC內,證明BC⊥平面PAC即可,連接AC,過C作CE⊥AB,垂足為E,AC⊥BC,又因為BC⊥PC,AC∩PC=C,AC?平面PAC,PC?平面PAC,滿足線面垂直的判定定理;
          (2)欲證CM∥平面PAD,根據直線與平面平行的判定定理可知只需證CM與平面PAD內一直線平行即可,當M為PB中點時取AP中點為F,連接CM,FM,DF,CM∥DF,DF?平面PAD,CM?平面PAD,滿足定理條件.
          解答:精英家教網證明:(1)連接AC,過C作CE⊥AB,垂足為E,
          在四邊形ABCD中,AD⊥AB,CD∥AB,
          m=
          1
          2
          時,
          AD=DC,所以四邊形ADCE是正方形.
          所以∠ACD=∠ACE=45°
          因為AE=CD=
          1
          2
          AB,所以BE=AE=CE
          所以∠BCE═45°
          所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
          所以AC⊥BC,又因為BC⊥PC,AC∩PC=C,AC?平面PAC,PC?平面PAC
          所以BC⊥平面PAC,而PA?平面PAC,所以PA⊥BC.(7分)
          解:(2)當m=
          1
          3
          時,M點滿足PM=
          1
          3
          PB
          ,CM∥平面PAD,(8分)
          證明:取AP的三等分點F,連接CM,FM,DF.則FM∥AB,FM=
          1
          3
          AB,
          因為CD∥AB,CD=
          1
          3
          AB,所以FM∥CD,FM=CD.(10分)
          所以四邊形CDFM為平行四邊形,所以CM∥DF,(11分)
          因為DF?平面PAD,CM?平面PAD,所以,CM∥平面PAD.(13分)
          點評:本題主要考查了直線與平面平行的判定,以及空間中直線與直線之間的位置關系,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎題.
          練習冊系列答案
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          2
          ,∠PAB=60°.
          (1)證明AD⊥PB;
          (2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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          如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
          (1)求證:AG∥平面PEC;
          (2)求AE的長;
          (3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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          如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
          (Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
          (Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
          (1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
          (2)求三棱錐P-EDC的體積.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
          (1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
          (2)求A到面PCD的距離.

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