Question

（本題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC的中點。

   （1）求異面直線AE與A₁C所成的角；

   （2）若G為C₁C上一點，且EG⊥A₁C，試確定點G的位置；

   （3）在（2）的條件下，求二面角A₁-AG-E的大小

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，E₁C，則AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是異面直線A

與A₁C所成的角。設(shè)，則

中， 。

所以異面直線AE與A₁C所成的角為。  ------------------4分

   （2）．由（1）知，A₁E₁⊥B₁C₁,

又因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱

⊥BCC₁B₁,又EG⊥A₁C   CE₁⊥EG．

∠=∠GEC  ~

即得

所以G是CC₁的中點             ---------------------------- --8分

   （3）連結(jié)AG,設(shè)P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC．

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁   EP⊥平面ACC₁A₁ 

而PQ⊥AG   EQ⊥AG．∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

由EP=a,AP=a,PQ=,得

所以二面角C-AG-E的平面角是   ，而所求二面角是二面角C-AG-E的補角，故二面角的平面角是  ------------------12分

【解析】略