Question

【題目】已知F1、F2分別是橢圓C： +y2=1的左、右焦點(diǎn)．
（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)， =﹣ ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)闄E圓方程為 ，

知a=2，b=1， ，

可得 ， ，

設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），

則 ，

又 ，聯(lián)立 ，

解得 ，即為

（2）解：顯然x=0不滿足題意，可設(shè)l的方程為y=kx+2，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，

由△=（16k）2﹣4（1+4k2）12＞0，得 ．

， ．

又∠AOB為銳角，即為 ，

即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，

又 ，

可得k2＜4．又 ，即為 ，

解得

【解析】（1）求得橢圓的a，b，c，可得左右焦點(diǎn)，設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得P的坐標(biāo)；（2）顯然x=0不滿足題意，可設(shè)l的方程為y=kx+2，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，由∠AOB為銳角，即為 ，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求k的范圍．