Question

【題目】已知橢圓C： （＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，上、下頂點(diǎn)分別為B2、B1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形A1B1A2B2的面積為4，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若M、N是橢圓C上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線OM、ON的斜率之積等于，試探求△OMN的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用四邊形的面積求得，再利用直線和圓相切進(jìn)行求解；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率公式和三角形的面積公式進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）∵四邊形A1B1A2B2的面積為4，又可知四邊形A1B1A2B2為菱形，

∴，即ab=2①

由題意可得直線A2B2方程為：，即bx+ay﹣ab=0，

∵四邊形A1B1A2B2內(nèi)切圓方程為，

∴圓心O到直線A2B2的距離為，即②

由①②解得：a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：

（Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直線l與橢圓C相交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，

∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③

由韋達(dá)定理：

∵直線OM，ON的斜率之積等于，

∴，

∴，

∴2m2=4k2+1滿(mǎn)足③…（9分）

∴，

又O到直線MN的距離為，，

所以△OMN的面積

若直線MN的斜率不存在，M，N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

設(shè)M（x1，y1），N（x1，﹣y1），則，，

又∵M在橢圓上，，∴，

所以△OMN的面積S===1．

綜上可知，△OMN的面積為定值1.