Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁與a₄的一等比中項(xiàng)為，a₂與a₃的等差中項(xiàng)為6．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，b_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），請(qǐng)比較b_n與b_n+1的大��；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)，按原順序成等差數(shù)列？若存在，則求出這三項(xiàng)；若不存在，則加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意得，解此方程組能夠推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）a₁=2，，b_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，b_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
b_n+1-b_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．由此能夠推導(dǎo)出b_n+1＜b_n．
（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項(xiàng)a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等差數(shù)列，則a_k+a_n=2a_m，由k＜m＜n知1+2^n-k為奇數(shù)，2^m-k為偶數(shù)，從而某奇數(shù)=某偶數(shù)，產(chǎn)生矛盾．所以數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)，按原順序成等差數(shù)列．
解答：解：（I）由題意得，
解得或-（2分）
由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，．（3分）
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₂q^n-2=2ⁿ．（5分）

（Ⅱ）a₁=2，，（6分）
b_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，
b_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
b_n+1-b_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．（8分）
當(dāng)n=1或?yàn)檎�偶�?shù)時(shí)，b_n+1-b_n＞0，b_n+1＞b_n；-（9分）
當(dāng)n正奇數(shù)且n≥3時(shí)，b_n+1-b_n=2ⁿ（16-5×2ⁿ）≤2ⁿ（16-5×2³）＜0，b_n+1＜b_n．（10分）
（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項(xiàng)a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等差數(shù)列，（11分）
則a_k+a_n=2a_m，即2^k+2ⁿ=2^m，1+2^n-k=2^m-k，（12分）
由k＜m＜n知1+2^n-k為奇數(shù)，2^m-k為偶數(shù)，從而某奇數(shù)=某偶數(shù)，產(chǎn)生矛盾．（13分）
所以數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)，按原順序成等差數(shù)列．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．