Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，a_n+1=

an 2 +n-1，n為奇數(shù) an-2n     ，n為偶數(shù)

，記b_n=a_2n（n∈N*），S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）令c_n=

(n+1)( 5 11 )n

bn

，證明：c_n≤

1010

119

（n∈N*）．

Answer 1

分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答時(shí)：
（Ⅰ）首先由b_n=a_2n可推得：bn+1 =

1

2

bn從而獲得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公比都為

1

2

的等比數(shù)列，進(jìn)而用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可獲得問(wèn)題的解答；
（Ⅱ）利用第一問(wèn)的結(jié)論再結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：1+Sn-1=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

（n≥2）．又因?yàn)椋簩?duì)任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
則λ大于等于1+S_n-1的最大值，故λ的取值范圍是即可解答；
（Ⅲ）首先利用第一問(wèn)的結(jié)論對(duì)C_n進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用作差法即可獲得數(shù)列在不同范圍上的單調(diào)性，進(jìn)而求得數(shù)列{c_n}的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閎_n=a_2n，由已知可得，
bn+1=a2(n+1)=a(2n+1)+1=

a2n+1

2

+(2n+1)-1
=

a2n+1

2

+2n=

a2n-4n

2

+2n=

1

2

a2n=

1

2

bn．
又a₁=1，則b1=a2=

1

2

a1=

1

2

．
所以數(shù)列b_n是首項(xiàng)和公比都為

1

2

的等比數(shù)列，
故bn=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式為：bn=(

1

2

)n，n∈N*．
（Ⅱ）因?yàn)?span id="3p3qhkr" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">1+Sn-1=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2（n≥2）．
若對(duì)任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
則λ≥2，故λ的取值范圍是[2，+∞）．
（Ⅲ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">cn=

(n+1)( 5 11 )n

bn

=(n+1)(

10

11

)n，則
cn+1-cn=(n+2)(

10

11

)n+1-(n+1)(

10

11

)n=(

10

11

)n[(n+2)

10

11

-(n+1)]=(

10

11

)n •

9-n

11

．
當(dāng)n＜9時(shí)，c_n+1-c_n＞0，即c_n＜c_n+1；
當(dāng)n=9時(shí)，c_n+1-c_n=0，即c_n=c_n+1；
當(dāng)n＞9時(shí)，c_n+1-c_n＜0，即c_n＞c_n+1．
所以數(shù)列c_n的最大項(xiàng)是c₉或c₁₀，
且c9=c10=

1010

119

，故cn≤

1010

119

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了計(jì)算轉(zhuǎn)化的能力、恒成立問(wèn)題的解答能力以及定義法證明函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)．同時(shí)作差法、放縮法在題目當(dāng)中也得到了充分的體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)反思．