Question

若關(guān)于x的方程x²+1=ax有正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：方法一：將方程化為a=

1

x

+x，方程有正實(shí)根，故可用基本不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
方法二：關(guān)于x的方程x²+1=ax有正實(shí)數(shù)根，可設(shè)兩根為α，β，則由根系關(guān)系可得αβ=1，α+β=a，利用基本不等式求最值．

解答：解：法一：方程有正實(shí)根，方程可變?yōu)閍=

1

x

+x，
∴a=

1

x

+x≥2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=x=1時(shí)成立，
故參數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）
故應(yīng)填[2，+∞）
法二． 方程可變?yōu)閤²-ax+1=0，可設(shè)兩根為α，β，
則由根系關(guān)系可得αβ=1，α+β=a，
因 為關(guān)于x的方程x²+1=ax有正實(shí)數(shù)根，αβ=1，故兩根皆為正
a=α+β≥2

αβ

=2，當(dāng)且僅當(dāng)兩根相等即α=β=1時(shí)等號(hào)成立．
故參數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）
故應(yīng)填[2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用根與系數(shù)關(guān)系建立方程求參數(shù)的范圍，在本題解法一中把參數(shù)分離出來(lái)變成了求函數(shù)值的問(wèn)題，此方法是解決此類問(wèn)題求參數(shù)的一個(gè)較巧妙的方法，應(yīng)仔細(xì)體會(huì)看看還有哪些題可以用此種方法解題．