Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax和g（x）=bx²+c的一個交點為P（1，m），函數(shù)f（x）與g（x）在P點處的切線的斜率的和為2，
（1）用m表示a、b、c；
（2）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，求m的值及n的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax和g（x）=bx²+c的一個交點為P（1，m），則f（1）=m，g（1）=m，而函數(shù)f（x）與g（x）在P點處的切線的斜率的和為2，建立等式關(guān)系，即可將a、b、c用m表示；
（2）根據(jù)題意得函數(shù)在處取得極值，可求出m的值，然后令y′≤0，求出n的范圍即可．
解答：解：（1）依題意得：f（1）=1+a=m，g（1）=b+c=m                                （2分）
∵f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx（4分）∴f′（1）+g′（1）=3+a+2b=2
∴                （6分）
（2）∵∴y′=3x²+mx+m-1（8分）
依題意得函數(shù)在處取得極值，即
解得：m=1                                                      （10分）
由y′=3x²+x≤0得
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故n的取值范圍是．（13分）
點評：本題主要考查了函數(shù)在某點取極值的條件，以及函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了運算求解能力，屬于中檔題．