Question

設(shè){a}是正數(shù)數(shù)列，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于數(shù)列{b_n}，令b_n=，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件得a₁=3，，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知S_n=n（n+2），所以，再用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，由此能求出T_n．
解答：解：（1）由a₁=S₁=，及a_n＞0，得a₁=3
由得．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴a_n=2n+1
（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴，
T_n=b₁+b₂+…+b_n

==
∴
由，得
得，得
∴
因而n滿足的最小整數(shù)（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和的靈活運(yùn)用．