Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)， 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；

（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，

∵直線與圓相切，∴，即，        又，即，，解得，，

所以橢圓方程為．        ------------3分

（Ⅱ）設(shè)， ，，則，即， 則，，

即，

∴為定值．             ------------6分

（Ⅲ）設(shè)，其中．

由已知及點(diǎn)在橢圓上可得，

整理得，其中．----8分

①當(dāng)時(shí)，化簡得，

所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；                   -------------9分

②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；          -------------11分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；          -------------12分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓．

                                -------------13分

 

【解析】略