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        1. (2013•徐州模擬)已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn
          (1)若對任意的n∈N,a2n-1,a2n+1,a2n組成公差為4的等差數(shù)列,且a1=1,
          S2n
          2n
          =2013
          ,求n的值;
          (2)若數(shù)列{
          Sn
          an
          +a
          }是公比為q(q≠-1)的等比數(shù)列,a為常數(shù),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=1+
          1
          a
          分析:(1)依題意,可求得a2n+1-a2n-1=4,a2n=a2n-1+8(n∈N*),從而得a1,a3,a5,…a2n-1,a2n+1是公差為4的等差數(shù)列,且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n-1+8n,于是可求Sn=2n(2n+3),
          S2n
          2n
          =2013即可求得n的值;
          (2)由
          Sn
          an
          +a=(a+1)qn-1,可求得Sn=(a+1)qn-1an-aan,Sn+1=(a+1)qnan+1-aan+1,兩式相減得(a+1)(1-qn)an+1=[a-(a+1)qn-1]an,若q=1+
          1
          a
          ,可證得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,(充分性);若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,可證得q=1+
          1
          a
          ,(必要性).
          解答:解:(1)因?yàn)閍2n-1,a2n+1,a2n組成公差為4的等差數(shù)列,
          所以a2n+1-a2n-1=4,a2n=a2n-1+8(n∈N*),…(2分)
          所以a1,a3,a5,…a2n-1,a2n+1是公差為4的等差數(shù)列,且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n-1+8n,…(4分)
          又因?yàn)閍1=1,
          所以S2n=2(a1+a3+…+a2n-1)+8n
          =2[n+
          n(n-1)
          2
          ×4]+8n=4n2+6n=2n(2n+3),
          所以
          S2n
          2n
          =2n+3=2013,所以n=1005.…(6分)
          (2)因?yàn)?span id="cmmalmh" class="MathJye">
          Sn
          an
          +a=(a+1)qn-1,所以Sn=(a+1)qn-1an-aan,①
          所以Sn+1=(a+1)qnan+1-aan+1,②
          ②-①,得(a+1)(1-qn)an+1=[a-(a+1)qn-1]an,③…(8分)
          (ⅰ)充分性:因?yàn)閝=1+
          1
          a
          ,所以a≠0,q≠1,a+1≠aq,代入③式,得
          q(1-qn)an+1=(1-qn)an,因?yàn)閝≠-1,q≠1,
          所以
          an+1
          an
          =
          1
          q
          ,n∈N*,所以{an}為等比數(shù)列,…(12分)
          (ⅱ)必要性:設(shè){an}的公比為q0,則由③得(a+1)(1-qn)q0=a-(a+1)qn-1,
          整理得(a+1)q0-a=(a+1)(q0-
          1
          q
          )qn,…(14分)
          此式為關(guān)于n的恒等式,若q=1,則左邊=0,右邊=-1,矛盾;
          若q≠±1,當(dāng)且僅當(dāng)
          (a+1)q0=a
          (a+1)q0=(a+1)
          1
          q
          時成立,所以q=1+
          1
          a

          由(。ⅲáⅲ┛芍,數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=1+
          1
          a
          .…(16分)
          點(diǎn)評:本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查等差數(shù)列的求和與等比數(shù)列的分析確定,考查充分必要條件的推理論證,屬于難題.
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          (-∞,0)∪{1}
          (-∞,0)∪{1}

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          3π+α
          2
          )=-
          2
          3
          ,則cos2α=
          -
          79
          81
          -
          79
          81

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