Question

【題目】已知右焦點為的橢圓關(guān)于直線對稱的圖形過坐標原點.

是橢圓的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，.

（Ⅰ）當(dāng)時，求的面積；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明詳見解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓關(guān)于直線的對稱圖形過原點，可得a、c的關(guān)系，再由a、b、c的關(guān)系，可得a、c的值，進而求得橢圓方程，由可知兩線段關(guān)于x軸對稱，直線AM傾斜角為，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得交點坐標，進而求得三角形面積.

（Ⅱ）用設(shè)而不求的方式，分別假設(shè)兩條直線方程，并求出弦長，且兩直線斜率互為負倒數(shù)，根據(jù)兩弦長之間的斜率關(guān)系，得出斜率k的方程，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，通過求導(dǎo)分析，證明結(jié)論.

（Ⅰ）由題意得橢圓的焦點在軸上，∵橢圓關(guān)于直線對稱的圖形過坐標原點，∴，∵，∴，解得.∴橢圓的方程為.設(shè)，則由題意知.

由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為，

又，因此直線的方程為.

將代入得，

解得或，所以.

因此的面積.

（2）將直線的方程代入得

.

由得，故.

由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得.

由得，即.

設(shè)，則是的零點，，

所以在單調(diào)遞增，又，，

因此在有唯一的零點，且零點在內(nèi)，所以.