Question

某中學(xué)，由于不斷深化教育改革，辦學(xué)質(zhì)量逐年提高．2006年至2009年高考考入一流大學(xué)人數(shù)如下：

年       份	2006	2007	2008	2009
高考上線人數(shù)	116	172	220	260

以年份為橫坐標(biāo)，當(dāng)年高考上線人數(shù)為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，由所給數(shù)據(jù)描點(diǎn)作圖（如圖所示），從圖中可清楚地看到這些點(diǎn)基本上分布在一條直線附近，因此，用一次函數(shù)y=ax+b來(lái)模擬高考上線人數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并以此來(lái)預(yù)測(cè)2010年高考一本上線人數(shù)．如下表：

年     份	2006	2007	2008	2009
年份代碼x	1	2	3	4
實(shí)際上線人數(shù)	116	172	220	260
模擬上線人數(shù)	y1=a+b	y2=2a+b	y3=3a+b	y4=4a+b

為使模擬更逼近原始數(shù)據(jù)，用下列方法來(lái)確定模擬函數(shù)．
設(shè)S=（y₁-y₁′）²+（y₂-y₂′）²+（y₃-y₃′）²+（y₄-y₄′）²，y₁′、y₂′、y₃′、y₄′表示各年實(shí)際上線人數(shù)，y₁、y₂、y₃、y₄表示模擬上線人數(shù)，當(dāng)S最小時(shí)，模擬函數(shù)最為理想．試根據(jù)所給數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)2010年高考上線人數(shù)．

Answer 1

分析：將已知表中代入模擬函數(shù)公式，求出s轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次函數(shù)求出函數(shù)的最小值．

解答：解：S=（a+b-116）²+（2a+b-172）²+（3a+b-220）²+（4a+b-260）²
=4b²+2（10a-768）b+（a-116）²+（2a-172）²+（3a-220）²+（4a-260）²
 當(dāng) b=

2(768-10a)

8

  5a+2b=384①時(shí)，S有最小值，
其中最小值為：
M=（a-116）²+（2a-172）²+（3a-220）²+（4a-260）²-

(10a-768)2

4

=30a²-2×2160a+116²+172²+220²+260²-25a²+3840a-34²
當(dāng)且僅當(dāng)a=48時(shí)，M有最小值．
∴a=4代入①得b=7．
y₅=5×48+72=312．
答：2010年高考上線人數(shù)大約312．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用題中定義得到二次函數(shù)，然后二次函數(shù)最值的求法，求出對(duì)稱軸，然后求出函數(shù)的最值．