Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：

（1）PA⊥底面ABCD;

（2）平面BEF⊥平面PCD.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件，易證四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；

（2）由條件易證平面，，所以平面，，根據(jù)中點(diǎn)，，所以，，那么可證明平面，平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，平面平面．

試題解析：證明：（1）因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD．

因?yàn)?/span>AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB=DE．

所以ABED為平行四邊形，所以BE∥AD．

又因?yàn)?/span>平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD．

（2）因?yàn)?/span>AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．

由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因?yàn)?/span>PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．

因?yàn)?/span>E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF．

又EFBE=E，所以CD⊥平面BEF．

所以平面BEF⊥平面PCD．