Question

已知橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1，橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PF₁F₂內(nèi)切圓的面積取最大值時(shí)，內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)△PF₁F₂內(nèi)切圓的面積取最大值時(shí)即內(nèi)切圓半徑最大即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，因此利用s△ p F1F2 =s△qpF1+s△QF1F2+s△pQ F2可得|y|=

1

3

|y_p|而|y_p|≤

3

從而可求出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值，再結(jié)合此時(shí)p點(diǎn)的特殊位置求橫坐標(biāo)x

解答：解：如圖設(shè)內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為Q（x，y）
∵橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1
∴a²=4，b²=3
∴c²=1，a=2，c=1，pF₁+PF₂=2a=4，F(xiàn)₁F₂=2C=2
又∵s△ p F1F2 =s△qpF1+s△QF1F2+s△pQ F2
∴

1

2

×F₁F₂×|y_p|=

1

2

×（pF₁+pF₂+F₁F₂）×|y|
∴|y|=

1

3

|y_p|．．
又∵|y_p|≤

3

∴|y|≤

3

3

此時(shí)p點(diǎn)在橢圓與y軸相交的兩個(gè)頂點(diǎn)上故x=0同時(shí)內(nèi)切圓面積為πy²≤

π

3

∴Q（

+

.

3

3

，0）
故答案為（

+

.

3

3

，0）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了橢圓與圓的綜合問(wèn)題．關(guān)鍵是要分析出△PF₁F₂內(nèi)切圓的面積取最大值時(shí)即內(nèi)切圓半徑最大即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大同時(shí)還要利用面積分割得到關(guān)系式|y|=

1

3

|y_p|再利用|y_p|≤

3

求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值．此題另一關(guān)鍵是要得出當(dāng)內(nèi)切圓面積最大時(shí)p點(diǎn)落在橢圓與Y軸的交點(diǎn)上此時(shí)x=0．此題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中得應(yīng)用！