Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x+2ax+b ， 且 ， ．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2x+2ax+b ， 且 ， ．∴2+2a+b= ，22+22a+b= ，
即a+b=﹣1，2a+b=﹣2，
解得：a=﹣1，b=0，
故f（x）=2x+2﹣x ，
∴f（﹣x）=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，理由如下：
∵f′（x）=ln22x+ln 2﹣x ，
當(dāng)x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性
【解析】（Ⅰ）由已知中 ， ，構(gòu)造方程，可解得實(shí)數(shù)a，b的值，根據(jù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)法，可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱才能得出正確答案．