Question

把公差為2的等差數(shù){a_n}的各項(xiàng)依次插入等比數(shù){b_n}中，{b_n}按原順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…2^n-1項(xiàng)的各組，得到數(shù)列{c_n}：b₁，a₁，b₂，b₃，a₂，b₄，b₅，b₆，b₇，a₃，…，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和s_n．若c₁=1，c₂=2，S₃=

13

4

．則數(shù){c_n}的前100項(xiàng)之和S₁₀₀=

1

3

[130-(

1

2

)186]

．

Answer 1

分析：先由c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，S₃=1+2+b₂=

13

4

，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比，從而可求a_n，b_n然后根據(jù)數(shù)列C_n的組成特點(diǎn)，判斷前100項(xiàng)中，a_n，b_n中的項(xiàng)分別有多少項(xiàng)，再代入等差及等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解：由題意可得c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，S₃=1+2+b₂=

13

4

∴b2=

1

4

，公比q=

1

4

∴a_n=2+2（n-1）=2n，bn=

1

4n-1

∴S₁₀₀=b₁+a₁+b₂+b₃+a₂+…+a₆+b₆₄+…+b₉₄
=（a₁+…+a₆）+（b₁+b₂+…+b₉₄）
=42+

1-  1 494

1- 1 4

=

1

3

[130-(

1

2

)186]
故答案為：

1

3

[130-(

1

2

)186 ]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，準(zhǔn)確判斷所求數(shù)列中的項(xiàng)分別有多少等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)．