Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），（

a

≠

b

）．
求證：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．

Answer 1

分析：由題意知兩個(gè)向量的終點(diǎn)都在單位圓上，設(shè)出兩位向量，以這兩個(gè)向量為鄰邊做菱形，則菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)就是兩個(gè)向量的和與差，根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)垂直，得到結(jié)論．

解答：證明：由題意知兩個(gè)向量的終點(diǎn)都在單位圓上，在單位圓中設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，以

OA

、

OB

為鄰邊作□OACB，
則OACB為菱形．
∴

OC

⊥

BA

．
∴

OC

•

BA

=0，
∵

OC

=

a

+

b

，

BA

=

a

-

b

∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0．
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．

點(diǎn)評(píng)：用一組向量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，好多問(wèn)題都是以向量為載體的，