Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線上的動(dòng)點(diǎn)：

（1）求的取值范圍：

（2）若為面內(nèi)的一點(diǎn)，且，，求的余弦值：

（3）若、分別是所在正方形棱的中點(diǎn)，試問(wèn)在棱上能否找到一點(diǎn)，使平面?若能，試確定點(diǎn)的位置，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)M為的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范圍．
（2）設(shè)在，三邊上的投影分別是，轉(zhuǎn)化求出，即可得到它的余弦值．
（3）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，說(shuō)明平面，過(guò)作于K，延長(zhǎng)后交所在的直線于點(diǎn)M，則BM⊥平面．通過(guò)，求解即可．

解：（1）設(shè)，

則，
所以，
的取值范圍為；
（2）解：設(shè)在，三邊上的投影分別是，，，

則由于，

．
，
，

即，它的余弦值為
（3）解：設(shè)與的交點(diǎn)為．連接，

則由以及，知平面，
于是面面，在面內(nèi)過(guò)作于K，延長(zhǎng)后交所在的直線于點(diǎn)M，則BM⊥平面，

在平面內(nèi)，由，
知，又，

∴．
這說(shuō)明點(diǎn)M為的中點(diǎn)．