Question

已知直線y=x-1與雙曲線交于兩點M，N 線段MN的中點橫坐標為- 雙曲線焦點c為，則雙曲線方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設出曲線的方程，和M，N的坐標，分別代入直線方程相減求得y₁-y₂=x₁-x₂，利用MN中點的橫坐標求得x₁+x₂，利用直線方程求得y₁+y₂，把M，N代入雙曲線方程相減求得a和b的關系，進而利用c求得a和b，則雙曲線的方程可得．
解答：解：設雙曲線=1，M，N （x₁，y₁） （x₂，y₂）
則y₁=x₁-1，y₂=x₂-1，兩式相減求得y₁-y₂=x₁-x₂，
=1，=1
兩式相減得：
=0
又因為x₁+x₂=-
y₁+y₂=x₁+x₂-2=-
∵y₁-y₂=x₁-x₂
所以=
∵c==
求得a=，b=
∴雙曲線方程為=1
故答案為：=1
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便．