Question

已知函數(shù)g(x)=sin(x+

π

6

)，f(x)=2cosx•g(x)-

1

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其對稱中心坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）由y=sinx可以按照如下變換得到函數(shù)y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，寫出①②的過程．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式．
（1）直接求函數(shù)f（x）的最小正周期及其對稱中心坐標(biāo)；
（2）通過x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，利用三角函數(shù)的值域求函數(shù)f（x）的值域；
（3）由y=sinx可以按照如下變換得到函數(shù)y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，利用利用左加右減的原則，寫出變換過程即可．

解答：解：函數(shù)g(x)=sin(x+

π

6

)，f(x)=2cosx•g(x)-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，因為2x+

π

6

=kπ，所以對稱中心坐標(biāo)(

kπ

2

-

π

12

，0)．k∈Z．
（2）x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
函數(shù)f（x）的值域[-

1

2

，1]，
（3）由y=sinx可以按照如下變換得到函數(shù)y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，
①函數(shù)的圖象向左平移

π

6

，②函數(shù)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的圖象的變換，基本知識的考查．