Question

下列各命題中，不正確的是（　　）

• A．若f（x）是連續(xù)的奇函數(shù)，則

  ∫

  α -α

  f(x)dx=0
• B．若f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，則

  ∫

  a -a

  f(x)dx=2

  ∫

  a 0

  f(x)dx
• C．若f（x）在[a，b]上連續(xù)且恒正，則

  ∫

  b a

  f(x)dx＞0
• D．若f（x）在[a，b]上連續(xù)，且

  ∫

  b a

  f(x)dx＞0，則f（x）在[a，b]上恒正

Answer 1

分析：A..若f（x）是連續(xù)的奇函數(shù)，則

∫

0 -a

f(x)dx=-

∫

a 0

f(x)dx，據(jù)此即可判斷出答案；
B．若f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，則

∫

0 -a

f(x)dx=

∫

a 0

f(x)dx，據(jù)此即可判斷出答案；
C．因為f（x）在[a，b]上連續(xù)且恒正，根據(jù)其單調(diào)性即可判斷出是否正確；
D．舉出反例即可否定．

解答：解：A．∵f（x）是連續(xù)的奇函數(shù)，∴

∫

a -a

f(x)dx=

∫

0 -a

f(x)dx+

∫

x 0

f(x)dx=-

∫

a 0

f(x)dx+

∫

a 0

f(x)dx=0，故A正確；
B．∵f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，∴

∫

a -a

f(x)dx=

∫

0 -a

f(x)dx+

∫

a 0

f(x)dx=2

∫

a 0

f(x)dx，故B正確；
C．∵f（x）在[a，b]上連續(xù)且恒正，∴

∫

b a

f(x)dx＞

∫

b a

0dx=0，故C正確；
D．舉反例：

∫

2 -1

x3dx=

x4

4

|

2 -1

=4-

1

4

＞0，而f（x）=x³在區(qū)間[-1，0）上恒小于0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上不恒為正，故D不正確．
綜上可知：只有D不正確．
故選D．

點(diǎn)評：正確理解定積分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．