Question

設(shè)A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓的長軸長為4，且點(diǎn)(1，

3

2

)在該橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為直線x=4上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP與橢圓相交于異于A的點(diǎn)M，證明：△MBP為鈍角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的長軸長為4，得2a=4，即得a=2；又點(diǎn)(1，

3

2

)在橢圓上，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可得b；從而得出方程．
（Ⅱ）設(shè)P（4，t）其中t≠0，直線AP與橢圓交于點(diǎn)M（異于A），由直線方程與橢圓方程組成方程組，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
由B，P，M三點(diǎn)坐標(biāo)，得向量

BM

，

BP

，

MP

，由

BM

•

BP

＜0，知∠MBP是鈍角；從而得出證明．

解答：解：（Ⅰ）由題意：2a=4，所以a=2，所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1；
又點(diǎn)(1，

3

2

)在橢圓上，∴

1

4

+

3 4

b2

=1，∴b²=1；
故所求橢圓方程為：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（4，t），M（x_M，y_M），
則直線PA的方程為：y=

t

6

(x+2)，（t≠0）；
由

y= t 6 (x+2) x2+4y2=4

得 （9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0；
因?yàn)橹本�PA與橢圓相交于異于A的點(diǎn)M，所以-2+xM=

-4t2

9+t2

，所以xM=

-2t2+18

9+t2

；
由yM=

t

6

(xM+2)，得yM=

6t

9+t2

，所以M(

-2t2+18

9+t2

，

6t

9+t2

)；
從而

BM

=(-

4t2

9+t2

，

6t

9+t2

)，

BP

=(2，t)；所以

BM

•

BP

=-

8t2

9+t2

+

6t2

9+t2

=-

2t2

9+t2

＜0．
又M，B，P三點(diǎn)不共線，所以∠MBP為鈍角；所以△MBP為鈍角三角形．

點(diǎn)評：本題（Ⅰ）考查了橢圓的基礎(chǔ)知識，（Ⅱ）借助于求直線與橢圓相交時(shí)的交點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積，來判斷三角形的形狀；要求有較高的計(jì)算能力，是中檔題．