Question

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：對(duì)于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=2-及f₂（x）=1+3•（（x≥0）是否在集合A中？試說明理由；
（2）對(duì)于（1）中你認(rèn)為是集合A中的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k對(duì)于任意的x≥0總成立．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判斷函數(shù)是否在集合A中，只要判斷對(duì)于任意的x≥0f（x）是否滿足f（x）∈（1，4]，且f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減即可
（2）由（1）可知，當(dāng)x≥0時(shí)，，從而有f（x）+f（x+2）=2+•（≤k在（0，+∞）上恒成立
，從而轉(zhuǎn)化為求解2+在（0，+∞）上的最大值即可
解答：解：（1）∵f₁（49）=2-=-5∉（1，4]，∴f₁（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（≤1，∴0＜3•（≤3，從而1＜1+3•（≤4．∴f₂（x）∈（1，4]．
又f₂（x）=1+3•（在[0，+∞）上為減函數(shù)，∴f₂（x）=1+3•（在集合A中．…（7分）
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）+f（x+2）=2+•（≤．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k對(duì)于任意的x≥0總成立，∴k≥．
因此所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是[，+∞）．                      …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以集合的關(guān)系為載體主要考查了函數(shù)的單調(diào)性于函數(shù)的值域的求解，而函數(shù)的恒成立的問題的解決常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值．