Question

已知

OF

=（c，0）（c＞0），

OG

=（n，n）（n∈R），|

FG

|的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：
①|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）；
②

PE

=λ

OF

 （其中

OE

=（

a2

c

，t），λ≠0，t∈R）；
③動點P的軌跡C經(jīng)過點B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲線C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量為a=（1，k）（k≠0）的直線l，使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且|

BM

|=|

BN

|？若存在，求出k的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）：|

FG

|=

(n-c)2+n2

=

2(n- c 2 )2+ c2 2

，
當n=

c

2

時，|

FG

|_min=

c2 2

=1，所以c=

2

．（3分）
（Ⅱ）∵

PE

=λ

OF

 （λ≠0），∴PE⊥直線x=

a2

c

，又|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）．
∴點P在以F為焦點，x=

a2

c

為準線的橢圓上．（5分）
設P（x，y），則有

(x- 2 )2+y2

=

2

a

|

a2

2

-x|，點B（0-1）代入，解得a=

3

．
∴曲線C的方程為 

x2

3

+y²=1                                       （7分）
（Ⅲ）假設存在方向向量為a₀=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），
與橢圓

x2

3

+y²=1聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．（10分）
由判別式△＞0，可得m²＜3k²+1．①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），由|BM|=|BN|，則有BP⊥MN．
由韋達定理代入k_BP=-

1

k

，可得到m=

1+3k2

2

               ②
聯(lián)立①②，可得到  k²-1＜0，（12分）
∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．
即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且|

BM

|=|

BN

|．（14分）z