Question

（2011•浙江模擬）已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的兩實根，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系和a₁=1即可求出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的關系式和等比數(shù)列的定義即可證明．

解答：（Ⅰ）解：∵a_n，a_n+1是關于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的兩實根，
∴

an+an+1=2n bn=an•an+1

，
∵a₁=1，
∴a₂=1，a₃=3，a₄=5．
（Ⅱ）證明：∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1．
故數(shù)列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數(shù)列．   
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
即an=

1

3

[2n-(-1)n]．

點評：熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系、等比數(shù)列的定義是解題的關鍵．