Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n項(xiàng)和為S_n，且當(dāng)n≥2時(shí)，．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若a=4，令，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．設(shè)λ是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)n，使等式成立？若存在，求出n和相應(yīng)的λ值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n=s_n-s_n-1得：=-化簡(jiǎn)得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）得到數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；（Ⅱ）由（1）得等比數(shù)列{S_n}的首項(xiàng)為1，公比為a，求出s_n，利用a_n=s_n-s_n-1得到即可；
（Ⅲ）根據(jù)a=4，令，化簡(jiǎn)得到b_n的通項(xiàng)，并表示出前n項(xiàng)和公式T_n，代入到等式中求出n和相應(yīng)的λ值．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，，
化簡(jiǎn)得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），
又由S₁=1≠0，S₂=a≠0，可推知對(duì)一切正整數(shù)n均有S_n≠0，
∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比數(shù)列{S_n}的首項(xiàng)為1，公比為a，
∴S_n=a^n-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（a-1）a^n-2，
又a₁=S₁=1，
∴
（Ⅲ）當(dāng)a=4，n≥2時(shí)，a_n=3×4^n-2，
此時(shí)=，
又，
∴，
當(dāng)n≥2時(shí)，
=．
若n=1，則等式為，不是整數(shù)，不符合題意．
若n≥2，則等式為，
∵λ是整數(shù)，∴4^n-1+1是5的因數(shù)．
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，是整數(shù)，∴λ=4
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)λ=4時(shí)，存在正整數(shù)n=2，使等式成立．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用等比數(shù)列求和公式的能力，數(shù)列求和公式的運(yùn)用能力．