Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。

　　　（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）試求滿(mǎn)足的所有實(shí)數(shù)a

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）m(t)=a()+t=

（Ⅱ）

（Ⅲ）滿(mǎn)足的所有實(shí)數(shù)a為或a=1

【解析】解：（Ⅰ）令

要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∴t≥0                 ①

t的取值范圍是由①得

∴m(t)=a()+t=

（Ⅱ）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。

注意到直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，分以下幾種情況討論。

（1）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=m(t), 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一段，

由<0知m(t)在上單調(diào)遞增，∴g(a)=m(2)=a+2

(2)當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t, ,∴g(a)=2.

(3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=m(t), 的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的一段，

若，即則

若，即則

若，即則

綜上有

(III)

情形1：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，

由，與a<-2矛盾。

情形2：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，

解得， 與矛盾。

情形3：當(dāng)時(shí)，此時(shí)

所以

情形4：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

矛盾。

情形5：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)g(a)=a+2,

由解得矛盾。

情形6：當(dāng)a>0時(shí)，，此時(shí)g(a)=a+2,

由，由a>0得a=1.

綜上知，滿(mǎn)足的所有實(shí)數(shù)a為或a=1