Question

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上有三點A（x₁，y₁）、B(4，

9

5

)、C（x₂，y₂）與右焦點F（4，0）的距離成等差數(shù)列，則x₁+x₂的值為（　�。�

• A．6
• B．

  41

  4

• C．8
• D．無法確定

Answer 1

分析：由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上有三點A（x₁，y₁）、B(4，

9

5

)、C（x₂，y₂）與右焦點F（4，0）的距離成等差數(shù)列，知|AF|-|BF|=|BF|-|CF|，故2×

9

5

=[（x₁-4）²+y 1 2] 

1

2

+[（x₂-4）²+y 2 2] 

1

2

，由（x₁，y₁），（x₂，y₂）在圓上，知2×

9

5

=[

(25-4x1)2

25

]

1

2

+[

(25-4x2)2

25

]

1

2

，由此能求出x₁+x₂的值．

解答：解：∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上有三點A（x₁，y₁）、B(4，

9

5

)、C（x₂，y₂）與右焦點F（4，0）的距離成等差數(shù)列，
∴|AF|-|BF|=|BF|-|CF|，
∴2|BF|=|AF|+|CF|，
∴2×

9

5

=[（x₁-4）²+y 1 2] 

1

2

+[（x₂-4）²+y 2 2] 

1

2

，（*）
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，
∴

x12 25 + y12 9 =1 x22 25 + y22 9 =1

，
∴

y12= 225-9x12 25 y22= 225-9x22 25

，
把

y12= 225-9x12 25 y22= 225-9x22 25

代入（*），得
∴2×

9

5

=[

(25-4x1)2

25

]

1

2

+[

(25-4x2)2

25

]

1

2

=

25-4x1

5

+

25-4x2

5

，
∴2×

9

5

=

50-4(x1+x2)

5

，
整理，得18=50-4（x₁+x₂），
∴x₁+x₂=8．
故選C．

點評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．